第三讲 连续动态系统

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第三讲 连续动态系统

  昆山2015年10月 连续动态系统的数学描述–线性系统 能够用线性数学模型描述的系统,称为线性系统;线性系统的基本特性,即输出响应特性、状态响应特性、状态转移特性,都满 足叠加原理。 令f代表某种数学操作,如关系、变换、运算、函数、泛函、 方程等,x为数学操作的对象,f(x)代表对x施加的f操作。如 果满足加和和齐次性,则称数学操作f为线性的。满足叠加原 理是区分线性和非线性的基本标志。 连续动态系统的数学模型是微分方程,刻划系统的动态变量(状态变量的导数或高阶导数)对状态变量的依存 关系以及状态变量之间的相互影响。 如果状态变量是时间的函数,与空间分布无关,称为 集中参数系统,用常微分方程描述。状态变量同时依 赖于时间和空间分布(同一时刻不同点的状态变量数值 不同)的是分布参数系统,须用偏微分方程描述。 线性连续动态系统的数学模型为线性常微分方程,可以使用一元高阶方程,也可以使用多元一阶联立方程组。 一般来说,这两种形式是等价的。 线性连续动态系统的数学模型有两个基本来源:(1)许多系统的非线性因素微弱,允许忽略,近似满足线性 假设,根据相关学科的基本原理建立线)许多系统具有较强的非线性因素,线性假设不成立,根 据基本原理只能建立非线性数学模型;但如果我们关心的只是系 统的局部特性,非线性模型又满足连续性和光滑性要求,就可以 在该点附近把它线性化,用它来近似描述系统的局部行为。 模型方法隐含的一个假定是:只要动力学方程是合理的,我们 就认为一切有关系统行为的信息就包含其中,即包含与方程的结 构和系数中。最理想的处理方法是求取方程的解析解,只要得到 方程的解析解,就可以把握系统的全部行为特性。 系数矩阵为【举例】二维系统 特征方程为 特征方程的根为 一般情况根不等,如果给 定x,y的初始值 则系统的通解可写作:更一般地,对n维系统,有: 连续动态系统的数学描述–非线性系统 如果数学操作f不满足加和性和齐次性要求,则称f为非线性的。非线性连续系统的动力学方程一般形式为以下方程组,其中至少 有一个方程是非线性的 将控制参量表示为向量形式 将F记为 系统最终可写作: 10 11 有了演化方程后。一般有3种方法研究非线性系统的行为特性。 解析方法:据微分方程理论,一般地解析求解方程描述的系统是不可能的。即使最简单的一维非线性系统,函数f(x)仍 有无穷多不同形式,一般地解析求解也不可能。只有在某些 特殊情形下可以获得解析解。 几何方法:几何方法主要用于分析系统的定性性质。避开解方程,从方程的结构和参数中直接提取系统的定性信息, 有时十分方便有效,当系统维数较低时可以借助直观图象获 得对系统的深刻洞见,庞加莱开辟的微分方程定性理论及其 后续发展为此提供了强有力的数学工具。 数值计算方法:利用演化方程定量研究非线性系统普遍有效的方法是使用计算机进行数值计算,求得方程的近似解。 12 对所谓弱非线性系统,按照“非线性是对线性的偏离”的观点,用线 性化方法研究系统的局部行为特性,是非常有效的。设f(x)在x 按照Taylor展开可得:只要x-x 足够小,非线性项就可以忽略。如果略去高次项,可以将非线性系统重新表示为: 只要非线性系统在某一点附近满足连续性、光滑性要求,就可以在 该点附近看作弱非线性系统,将演化方程展开,略去非线性项,化为 线性模型,利用线性系统理论来分析模型,以期获得对非线性系统局 部行为特性的近似描述。这种方法叫做非线性系统的局部线性化处理, 有广泛的应用。 13 分叉、突变、混沌14 确定性动态系统只要求出方程的解析解,从给定的初始条件出 发,既可以预见系统的一切未来状态,也可以回溯过去的所有状 态,达到对系统行为特性的全面而定量的把握。但非线性动力学 方程能够获得解析解的情形极少。 对于一般非线性系统,可行的方法是定性描述,即在状态空间 和参量空间中用几何方法等定性手段来研究。从系统演化的角度 看,重要的不是了解系统的定量性质,而是定性性质、所谓整体 定性性质,就是部分组成系统整体时涌现出来的新性质。 系统在状态空间中的状态迁移,以及状态点的特性是进行定性 分析的主要的手段。 15 分叉、突变、混沌16 17 状态空间是在控制参量给定的条件下建立的。但控制参量也 是可变的,这种变化有时只会引起系统行为特性的某些量变,有 时可能导致系统定性性质的改变,因而是必须深人研究的重大问 为坐标轴构造的m维空间,称为参量空间,又称控制空间。参量空间的每个点都对应一个确定的系统。所以, 在参量空间研究的是演化方程结构相同的无穷多系统构成的系统 分叉、突变、混沌19 由于状态空间包含系统所有可能状态,有关系统的动态特性的 所有信息都蕴藏其中。虽然状态空间有无穷多个状态,但是在统 计学意义上可以划分为很少的几类,它们显示不同的性质,代表 系统的不同动力学性质。 动态系统有两类可能的状态。系统在某个时刻可能到达但不 借助外力就不能保持或不能回归的状态或状态集,称为暂态。系 统到达后若无外部作用驱使将保持不变的状态或反复回归的状态 集,称为定态。定态是由状态空间中的点集合刻划的。最简单的 定态只是空间的一个点。状态空间几乎全是由暂态点填充的,定 态只是其中极其微小的一部分。 20 【举例】 状态空间是曲线上所有点的集合。其中A、B、C三个点代表定 态,其余点代表暂态。把一个小球放在A、B、C的任意点,如果 没有外界扰动,小球始终停留在该点不动。把小球放在除了此三 点的其他点,只要没有外力维持,小球会离开远去。 21 系统的定性性质是由定态决定的,不同的定态代表不 同的定性性质,暂态只是系统为了确立某种定性性质所 必须的量的积累,不能表现系统的本质特征。 从一种定态到其他定态的变化反映的是系统从一种定 性性质向另一种定性性质的转变,叫做系统的相变。 系统演化理论主要是关于定态的理论。 22 平衡态最简单的一类定态是平衡态,在数学上是由不动点来刻划。 系统的不动点是指满足以下条件的状态点。 该方程称为系统的不动点方程。在这种点山个,所有状态 变化的导数(变化率)为0,状态不再发生变化,表明系统处 于平衡运动。 23 24 拟周期态由多个不同周期且周期比为无理数的周期运动叠加在一起形成 的复杂运动形式,称为拟周期运动,由3维或高维空间的环面描 (4)混沌态(分形)【专门介绍】25 定态与空间维数有密切关系 1维系统的状态只能在一条直线上变换和转移,因此只有不动 点的定态,即只有平衡运动一种行为方式; 2维系统的状态可以在平面上转移,系统的动力学特性比一维 系统丰富得多,不仅有不动点,可以做平衡运动,还可能有极限 环做周期运动。 3维以上系统可以形成各种可能的定态,呈现出各种行为特性。 维度n是决定系统性质的重要参数。 26 对系统的动力学考察主要可以归结为两点:(1)给定任意的初态扰动下看系统的行为特性; (2)看系统动力学特性决定的系统行为特性。 具体而言,演化方程的每个解X(t)都代表系统的一个行为过程。 对确定性系统,根据微分方程解的唯一性定理,从每个初态出发 有且只有一个轨道。 从每个初态出发有且只有一条轨道。状态空间中的每个点都 可以作为初态,通过空间中每个点有且只有一条相轨道,相空间 充满轨道,不同轨道之间互不相交。 27 充满相空间的无数轨道由两类组成。一类是定态组成的轨道; 一类是暂态组成的轨道。 每种定态都是一条轨道。不动点是特殊的只有一个点的轨道, 极限环代表着周期运动轨道,混沌则代表着一族轨道丛。 暂态轨道又可分为终态是定态的轨道(有极限),和无极限 的轨道。 动态系统主要关注的是系统的终态,系统有无终态,终态的 类型,各种终态的特性,如何向终态过度构成了动力学的终态问 稳定性–系统稳定性问题 分叉、突变、混沌29 现实系统不可避免要承受来自环境或系统自身的各 种扰动,扰动一般都会使系统的结构、状态、行为有所 偏离,小扰动引起的是否为小偏离,出现偏离后系统能 否恢复原样,就是稳定性研究要回答的基本问题。 稳定性指的是系统的结构、状态、行为的恒定性, 即系统结构、状态、行为的抗干扰能力。非形式地讲, 如果小扰动引起的偏离也足够小,系统是稳定的。如果 小扰动引起的偏离超出允许范围,甚至偏离不断增大, 出现大范围的振荡,或向无穷发散,系统是不稳定的。 30 稳定性是系统的一种重要维生机制,稳定性愈好,系 统的维持能力愈强。一个状态如果不稳定,必定是物理 不可实现(不可达)的,至多在某个动态过程瞬间出现。 一个系统的状态空间如果没有任何稳定定态,必定在物 理上是不可实现的,因此无需讨论。 稳定性问题是动态系统理论的首要问题。什么是稳定 性,如何判别稳定性,稳定性的类型,系统的稳定性程 度(稳定裕度),系统是否存在不稳定点,稳定的系统在 什么条件下会失去稳定性,如何确定系统的失稳点,系 统在失稳点附近行为特性的分析,如何从失稳的原状态 向稳定的新状态过渡,等等 31 稳定性–稳定性的数学定义 分叉、突变、混沌32 33 李雅普诺夫稳定只要求把解的偏离 限制于一定范围,不要求最终消除 偏离。与之相比,李雅普诺夫渐近 稳定是对稳定性更严格的要求。 在有阻尼的情况下,A和 C是渐进稳定的定态 34 稳定性–定态的稳定性 分叉、突变、混沌35 【定态的稳定性】 从相空间看,一个定态的稳定性问题也就是它附近轨道的稳定 性问题。所以,轨道的稳定性主要指的是定态的稳定性。由于把 稳定性界定为系统行为在受到扰动后能否消除偏离的问题,一个 定态是否稳定可以通过它周围的所有轨道的终态走向来判别。 36 四种不动点的稳定性 焦点型(focus)不动点特点是周围布满螺旋形的相轨道,从附 近任一初态开始的轨道都是以不动点为极限点的螺旋线。又分稳 定与不稳定两种情形。 37 结点(node)不动点特点是周围布满非螺旋形轨道。在正 规情形下,相轨道是指不动点的直线。又分稳定与不稳定两 种情形。 38 非正规稳定结点 39 中心点型不动点(center) 不动点周围布满周期不同的闭合轨道,以邻域内任何点为 初态,系统都将出现围绕不动点的周期运动。这种平衡态对 扰动不敏感,只要初态偏离足够小,周期轨道对中心的偏离 也足够小。故中心点是稳定的,但不是渐近稳定的。 40 鞍点型不动点(saddle) 两条相轨道从相反方向向不动点收敛,两条相轨道从不动点 沿相反方向向外发散。 41 极限环或周期轨道的稳定性,可分为3种情形。稳定的极限环的 特点是附近一切轨道都螺旋式地收敛于极限环,即所有环外的轨 道都向内卷去,所有环内的轨道都向外卷去。 42 第三种是单侧稳定的极限环,或者外部的轨道收敛于极限环 而内部的轨道远离极限环,或者外部轨道发散而内部轨道收敛于 极限环。 43 分叉、突变、混沌44 非形式地说,相空间中满足以下3个条件的点集合(可能包含一个点或 有限个点或无限多个点),称为动态系统的吸引子 (1)终极性 吸引子代表系统演化行为要达到的终极状态,处于非吸引子态的系 统“不安于现状”,力求离之远去,处于吸引子态的系统“安于现 状”,不再具有力图改变这种状态的动力。 (2)稳定性 吸引子态是系统自身质的规定性的体现,具有抵制一干扰保持自身 特性的能力,即具有稳定性。 (3)吸引性 作为吸引子态的状态集合对于周围的其他状态或轨道具有吸引性, 只要系统尚未到达吸引一态,现实状态与吸引子态之间必定存在非零 的、指向吸引介的牵引力,牵引着系统向吸引子态运动。 45 常见的吸引子有以下几类: 奇怪吸引子(Strangeattractor),代表系统的混沌运动; chaos),代表介于有序(前三类)和混沌之间的运动体制。 46 【系统的目的性】 广义上说,凡存在吸引子的系统,均为有目的的系统;凡有 目的的系统,也是存在吸引子的系统。从暂态向稳定定态的运动 过程就是系统寻找目的的过程。 耗散系统都可能有吸引子。一切存在吸引子的系统,在演化 过程中均表现出这种“不达目的誓不罢休”的行为特征。 系统的目的态不是单纯由系统自身决定的,还同环境紧密相关。 每个稳定定态都是系统与环境相互作用而达成的均衡状态,环境 改变了,原有的平衡打破了,系统就要相应地调整目的态,以求 与环境达成新的平衡。 47 分叉、突变、混沌48 【吸引域】 每个吸引子在相空间都在自己的周围划分出一定的“势力范 围”,凡是以那个范围内的点为初态而开始的轨道都趋向于该吸 引子。相空间中这样的点集合,称为吸引子的吸引域。 【举例】江湖和支流 49 分叉、突变、混沌50 【系统的相图】 在状态空间用定性方法研究系统,目标不在于刻划每一条具体 轨道,而在于刻划一切可能轨道的集合,弄清轨道的类型和分布, 做到整体地把握动态系统的运动规律和特性。为达到此目的,特 别是对于不超过3维的系统,相图是一个得力工具。 取定控制参量的一组数值,在相空间用几何图形直观地表下出 系统所有可能的定态,标明定态的类型、个数、分布以及每个定 态周团的轨道特性和走向,这种图形称为系统的相图(phase portrait)。 51 线性系统只可能有不定点型定态,不可能有极限环或环面或者 更为复杂的定态,但各种类型的不动点都可能存在。 线性系统 至多可能有一个吸引子(为什么?)。当存在吸引子时,线性系 统的整个空间都是它的吸引域,吸引子刻划了系统在整个相空间 的行为特征。 非线性系统的相图要比线性系统的相图丰富复杂得多。在非 线性系统中,各种不动点都可能出现。 52 多个吸引子并存,必然将整个相空间分割成不同的吸引域。确定 吸引域的分界线是一个重要问题。对于规则的吸引子,分界线一般 是规则的曲线或曲面。对于奇怪吸引子,分界线或分界面是一个复 杂的分形结构(混沌边缘)。 【举例】 A为稳定焦点;B为鞍点;C是不稳 定结点;D为稳定极限环。 这里B引出的轨道为鞍沿,起到了 分界线的作用。 此相图中,鞍沿与极限环一起将相 空间分成了5个流域。 53 建立系统的演化方程后,可以用数学手段回答下列 问题:系统有无吸引子,有多少吸引子,有哪些类型的 吸引子,吸引子在相空间如何分布,如何划分吸引域, 有无排斥子,排斥子的特性和分布如何,关于这些问题 的一般性理论,构成了所谓的吸引子理论。 吸引子理论指明动态系统可能具有的稳定性态和功 能行为,是系统理论的另一项重要内容。 54 分叉、突变、混沌55 根据周期运动的成因,可以把它分为两种。系统在 周期性的外部作用(强迫作用)下出现的周期运动,称 为他激振荡。在没有外部周期作用驱动时,如果系统由 于自身内部因素而出现周期运动,称为自激振荡(振荡 的频率和振幅均由系统自身的结构和参数决定)。 产生自激振荡的根源是系统内部的非线性相互作用 。把非线性系统线性化,必然把系统产生振荡的内在根 源“化掉”,导致在有关系统定性行为的判断上出现错 误。所以,应用线性化方法处理非线性系统问题时要格 外注意。 56 并非所有的非线性系统都会出现自激振荡。在数学上自激振荡 出现的根源是极限环。如果极限环是稳定的,对应的周期运动也 是稳定的,即可以自我维持,称为自持振荡;如果极限环不稳定, 对应的周期运动也不稳定,即不能自我维持,称为非自持振荡。 【举例】范德波尔方程 此处参量μ0, -1)x’为非线性阻尼项,这项的作用是,当x

  0 时,系统存在一个稳定的极限环。 57 分叉、突变、混沌58 极限环是相空间中的封闭轨道,所以1维系统不可能 存在极限环。2维以上系统可能存在极限环,也就可能 存在振荡行为。给定系统的演化方程,判别系统是否存 在极限环,分析极限环的性质,就是极限环分析要解决 的问题。 判断系统是否存在极限环,包括正问题和反问题两 个方面。正问题是:对于一个给定系统,如何排除它存 在闭轨道。 59 应对正问题的三个方法: 梯度系统无闭轨道。给定非线性系统x’=f(x),如果存在一个标量函数V(x)使得 ,则称系统为一个具有势函数V(x) 的梯度 函数(gradient system)。有定理保证:梯度系统不可能存在极限环。 附近可以构造一个李雅普诺夫函数,有定理保证不动点x 是渐进稳定的。这意味着没有闭轨道。 迪拉克判据:排除系统存在闭轨道的第三种方法以著名的格林定 理为依据,称为迪拉克判据。设系统x’=f(x)是定义在单连通的平 面区域R上的连续可微向量场,如果存在一个连续可微的实值函数 g(x),使得(gx’)在R具有单一符号,则定理保证整个区域R内没有 闭轨道。 60 反问题是:给定系统x’=f(x), 如何确定它有闭轨道。回答这个 问题的是动态系统理论总的庞加莱-本迪克松定理。 给定系统x’=f(x), 存在轨道C,只要从R内某点开始,将永远保持在R内部;则,要么C是闭合的,要么当t 时螺旋式地趋向于某条 闭轨道。 61 分叉、突变、混沌62 对于存在外部作用的强迫系统,还必须要讨论系统如 何响应外部的强迫作用及其追踪走向。这里主要讨论外 部作用下的周期运动,即他激振荡。 线性系统当且仅当从外部施加周期作用项时才能出现 稳定的周期运动。 非线性系统强迫系统的情形复杂得多。系统行为由自 身的动力学特性和强迫项功能决定。 63 【举例】达芬方程 这个系统有5个周期吸引 子并存,把相空间分成5 个吸引域,相互竞争,视 初态的不同而可能出现5 种不同的周期运动。 64 分叉、突变、混沌65 人们总是希望根据以往的事件预见未来,预见未来的前提是系 统行为具有回归性(回复性)。静止的平衡态具有最平庸的回归性: 不动也是回归。周期运动具有最典型的回归性,轨道的每个状态 经过确定的周期后必定严格地再次出现。只要没有外部扰动,每 个状态都会无数次地重复出现。 在一般情形,回归性不要求严格地回到原有状态,也不要求按 确定的周期回归,只要在t趋于。过程中能够反复回到其任意 近的地方。 回归的方式可以是规则的,也可以是不规则的。有限次的回归 后逃逸掉的状态还不算具有回归性的状态,在t趋于的过程中 无限次地回归的状态,才是可回归的。 66 结构稳定性67 状态空间是在给定控制参量的前提下建立的,在状态空间中研 究的是给定控制参量的特定系统。控制参量的不同取值代表不同 的系统,形成一个包含无限多个不同系统的系统族。控制参量变 化的影响需在参量空间中考察。 在参量空间研究的是具有相同数学结构的演化方程描述的系 统族,而不是单个系统,更不是系统的某条轨道。控制参量的变 化不改变系统演化方程的数学结构,但可能改变系统的动力学特 性,包括定性性质的改变,即系统相图结构。这种变化包括: 定态的产生(从无到有)和消失(从有到无),稳定性的改变 (从稳定定态变为不稳定定态,或者相反),定态的类型、个数及 其在相空间分布的改变等等。 68 给定参量空间中的一点,即给定了一个系统和其系统相图。如 果系统的相图只有量的变化,即控制参量的小扰动不会引起系统 相图定性性质的变化,就说系统是结构稳定的;如果控制参量的 小扰动引起系统相图发生定性性质变换,则系统是结构不稳定的。 【注意】运动稳定性和结构稳定性是一样的吗? 运动稳定性是状态空间中研究系统的概念,反映的是系统的运 动或者行为具有稳定性;结构稳定是在参量空间研究系统的概念, 反映的是系统动力学规律的稳定性。 处处结构稳定和处处不稳的系统都没有实际研究价值。我们关 心的是在绝大多数点上稳定,在有些点上,参数的微小变换即会 导致系统的结构发生改变。 69 分叉70 在参量空间中,控制参量改变引起动态系统定性性质的改变, 称为分岔。 【问题】何为定性性质的改变? 稳定性的改变,原本稳定的定态失去稳定性,或原本不稳定的定态变为稳定的。 原稳定定态失稳,出现一个或几个新的稳定定态,但新旧定态属于同一类型。 相空间中定态分布的改变。研究分叉现象发生的条件,确定分叉解的类型和个数,构造分 岔的解析表达式,判别分岔解的稳定性,描述分岔的曲线或曲面 的特点,描述分叉的系统科学意义,构成了分岔的理论。 71 1维系统的典型分岔类型72 (1)鞍结分岔(Saddle-node bifurcation) 【举例】 a是控制参量,可以取

  0时, 不动点方程没有实数 由于a=0是半稳定的,所以称为鞍结点,表示随着控制参量变化系统通过出现鞍结点而引起定态的创生和消失,故称为鞍节分岔。 73 (2)跨临界分岔(transcritical bifurcation) 【举例】x’=ax-x 分析可知,此系统的不动点为x=0和x=a。与前系统不同,这个系统在这个a轴上都有解,不存在不动点的创生和消失,分岔表现为定态 稳定性的改变。 在a


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